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リー群上のハミルトン系のお勉強。 論文もチェックしておかなければ。 ちゃんとした論文は大学の図書館に行かないと手に入らないのが痛い。 プレプリントや著者が自分のサイトにおいてくれているものの中から 参考になるものを探そう。
リー群上のハミルトン系を考える。
慣性作用素もしくは慣性テンソルとは、点 g における
接空間から余接空間への線型写像のことだと考える。
リー群が左から空間に作用しているとする。
剛体とは、空間上の質点の間の距離が変化しない系だと
考えるとすると、そこから計算される慣性作用素は、
剛体の回転直交座標系が変化する（つまり左からリー群の元が作用する）
と、同じ座標変換を受けることになる。
別の言い方をすると、左移動を使って慣性作用素をリー環から
リー環の双対空間への線型写像とみなした場合、左移動に使った
リー群の元 g にはよらないと言うことになる。
剛体の慣性作用素は Body 座標では一定別の言い方をすると、
剛体の慣性作用素は左移動で不変と言ってもよい。逆に慣性作用素が右移動で不変と言うことは、 剛体が等方的、リー群が回転を表す群のときは球であると 言うことを意味している。 剛体の場合は、外力がない場合でもハミルトン方程式の 陽的な解がないため、普通の質点の運動のように Symplectic 法を 適用するのは難しい。普通の質点の場合は、運動エネルギーのみからなる ハミルトン系の解が等速直線運動という陽的な解があったからである。 さて、どうしよう？
リー群上のハミルトン系を考えるときに出てくるのが Space 座標と
Body 座標の話。Abraham & Marsden の本に詳しく解説があるが、
他の一般の力学の本にはあまり触れられていないので、まとめておくことは
意味があるかも。今までの一般的な力学の公式との対比は
数値計算エンジンを作った後でも無駄ではないだろう、というわけで。
リー群Gの点gにおける接空間を単位元の接空間（すなわちリー環）
と同一視するための方法として、
d/dt (g(t)p) = X_S#(gp) = g X_B#(p)が成り立つ。X_S は g(t) の時刻 t での微分の Space 座標での値。 X_B は同じく Body 座標での値。#は基本ベクトル場を表す。 これは角速度（基本ベクトル場）が与えられたときの大域座標での 速度を求める公式（角速度と位置との外積）に対応する。 Space 座標で表された基本ベクトル場に対して gp という大域座標の値 が使われ、Body 座標で表されたものに対して、p という局所座標の値が 使われる。
大分前に考えて途中になっていたテーマを久しぶりに取り組んでみよう。 いわゆる Symplectic 数値計算を適用できる範囲を広くできないかを考えてみたい。