犀角(Diceros Horn)

80:20の法則

上位20%がリソースの80%を持つ。 さらにその上位20%だけの集合を考えても 同じ性質が成り立つ。そのような性質がべき法則 を満たす場合の特徴的な性質だといわれるが、 その場合の確率分布のべき指数γがいくら位になるかを計算してみよう。

べき法則を満たす確率変数(0<c≦x<∞)の確率密度関数をP(x)とした時、 yより大きな値を持つ確率 = P(>y) = 0.2 つまり、

∫_y^∞ P(x) dx = 0.2

となるような yに対して、全体のリソースの80%を占めるということは、

∫_y^∞ xP(x) dx = 0.8 ∫_c^∞ xP(x) dx

を満たすので、これを解けばよい。結果は約 γ = 2.16 となる。 インターネットのノードの次数分布が大体これに当てはまる。

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ベキ分布を平行移動する

べき分布の確率密度関数を平行移動したものを考える。 ある確率変数(c≦x<∞)の確率密度関数が

P(x) ∝ (x+α)^-γ

のようなベキ関数に比例する場合を考える。 当然 c+α > 0 は成り立つ必要がある。

簡単な計算からすぐわかることは、

• γ>1のとき規格化するための係数は最小値cと平行移動の因子αを用いて、(γ-1)(c+α)^γ-1と表され、γが1以下の場合は分布の積分は発散してしまう。
• γ>2のとき、平均値は収束して、(c+α)(γ-1)/(γ-2)-α である。
• γ>3のとき、分散は収束して、(c+α)²(γ-1)/(γ-2)²(γ-3) である。

となる。

ちなみにc=0のときに80:20の法則を満たすようなγを求めると、約γ = 2.41 になる。

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ベキ則について

調べたことなどを少しずつメモを残そう。

ある確率変数(0<c≦x<∞)の確率密度関数が

P(x) ∝ x-γ

のようなベキ関数に比例するときに、ベキ法則に従う、などという。

簡単な計算からすぐわかることは、

• γ>1のとき規格化するための係数は最小値cを用いて、(γ-1)c^γ-1と表され、γが1以下の場合は分布の積分は発散してしまう。
• γ>2のとき、平均値は収束して、c(γ-1)/(γ-2) である。
• γ>3のとき、分散は収束して、c²(γ-1)/(γ-2)²(γ-3) である。

ネットワークのノードの次数分布でべき法則に従うものとして知られているものの、 理論値および観測値は、以下の通り。

ネットワークの種類	ガンマの値
WWW	1.9〜2.7
インターネット	2.1〜2.5
映画俳優の共演ネットワーク	2.3〜3.1
バラバシ・アルバートモデル	3

実世界のモデルでは確率変数の区間は無限大まで広がっておらず、 有限のところで切れているので、平均値や分散も計算することができるが、 理論上（区間の上限を無限大にした時の極限）を考えると、 散らばり具合の指標として、分散に替わるものが必要になってくる。

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