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結び目を円周から3次元空間への写像とみなし、 それを三角関数で展開したときの係数を与えて結び目を描く。 有名な結び目については、あらかじめ与えている。
まずはメニューから有名どころの結び目を選んでみてください。 それから係数を変化させてお楽しみください。 他の結び目の係数を御存じの方はぜひお知らせください。3次元の常微分方程式の中で視覚化することに意義があるものとして 取り上げた。たぶん一番最初に作ったまともな Java3D の プログラムだったような・・・・・。
x' = -10x + 10y y' = 28x -y -xz z' = xy - 8/3zを初期値 (x,y,z) = (0,5,0) の下で数値計算する。
力学の教科書の内容は質点系の力学と剛体の力学の二つに大きく分けられている。 質点系の力学を Java3D で行うことための処方箋はほぼ分かってきて、 むしろネタ切れの感があったので、剛体の力学に挑戦することにした。
dM -- = [M,Ω] dt M = A(Ω)を解いて、角運動量 M を求める。 その角運動量にしたがって りー群上の運動を求め、それに従って剛体の座標系を回転させている。 ちなみにこれは外力のない場合、つまりは 無重力空間内での剛体の運動となっている。 剛体がある重力場の中にいるときには、次の方程式になる。
dM -- = [M,Ω] + [G,L] dt M = A(Ω)ここで、G は剛体の座標系による 重力ベクトル場で、L は固定点を原点とした時の重心の位置ベクトルである。 はじめ Arnold の「古典力学における数学的方法」を見たが、剛体の運動は のっていても、Hamilton 力学ではない。そこで、Abraham and Marsden の Foundations of Mechanics とか、Marsden and Ratiu の Introduction to Mechanics and Symmetry などを参考にした。この方程式の導出自体は Hamilton 力学でなくてもできる。 数値計算は局所座標に書き下さずに行列のまま vecmath パッケージを用いて計算した。ルンゲクッタ法は 行列環上の演算に翻訳して用いている。翻訳があっているかについて 理論的にチェックしていないので、ひょっとしたら積の非可換性から ルンゲクッタ法で保証される以上の誤差が出てきてしまうかもしれない。
ルービックキューブのシミュレーションプログラムの4x4バージョンです。 Java3D で作っています。
画面下のボタンを押すか、色名のキーを押すと、 デフォルトの状態でその色が中心にある面をその面の上から見て 時計回りに90度回転します。 4x4なので、中心の色もそのうち変わってしまうので注意。三体問題は、ハミルトン系の例として教科書によく現れ、また初等的に解けない例としても よく紹介される。そこで Java3D でハミルトン系を扱う場合の例として取り上げることにしました。 数値計算はシンプレクティック法を Java で実装したものを使っています。
開発履歴：はじめ2000年の秋頃に作ったのですが、そのときの履歴をなくしてしまいました。